Abitur 2022 AG1 Analysis
Aufgabenübersicht
Aufgabe 1 a)
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion \(f:x\mapsto \frac{x^2 + 2x}{x+1}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Geben Sie \(D_f\) und die Nullstellen von \(f\) an.
Lösung
Bei gebrochen-rationalen Funktionen, wie wir hier eine vorliegen haben, bestimmt der Zähler (das was über dem Bruchstrich steht) die Nullstellen und der Nenner (das was unterm Bruchstrich steht) die Definitionsmenge. Dass der Zähler die Nullstellen bestimmt liegt daran, dass allgemein
\[\frac{0}{a} = 0\]
für jedes beliebige \(a\) gilt. Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken unserer Funktion, weil wir nämlich niemals durch Null teilen dürfen. Damit lässt sich mit Hilfe des Nenners aus \(\mathbb{R}\) alle Zahlen herausstreichen, die wir nicht einsetzen dürfen. Das was übrig bleibt, ist dann unser maximaler Definitionsbereich.
Maximaler Definitionsbereich
Dann wollen wir mal den maximalen Definitionsbereich bestimmen. Dazu setzen wir wie oben besprochen den Nenner gleich Null.
\[ x+1 = 0 \]
Nun lösen wir nach \(x\) auf, indem wir auf beiden Seiten \(-1\) rechnen.
\[ x = -1 \]
Mehr Nullstellen gibt es nicht. Wir müssen also \(-1\) aus unserer Zahlenmenge ausschließen.
\[ D_f = \mathbb{R}\setminus \{-1\} \]
Nullstellen
Hierzu verwenden wir den Zähler und setzen diesen diesmal gleich Null.
\[ x^2 + 2x = 0 \]
Auflösen können wir diesmal nach \(x\) mit der PQ-Formel, der Mitternachtsformel oder anderen beliebigen Formeln. An dieser Stelle möchte ich aber die Möglichkeit nutzen, einen wichtigen und sehr hilfreichen Satz zu wiederholen: Den Satz vom Nullprodukt
Satz vom Nullprodukt
\[ a \cdot b = 0 \iff a = 0 \vee b = 0 \]
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn eines der beiden oder beide Faktoren gleich Null sind.
Wir haben hier im ersten Summanden \(x^2\) und im zweiten Summanden \(2x\) jeweils ein \(x\), weshalb wir das ausklammern können.
\[ x \cdot (x + 2) = 0\]
Mit Hilfe des Nullproduktsatzes erhalten wir zwei Gleichungen.
\[ x = 0 \quad \text{ oder } \quad x + 2 = 0\]
Die erste Gleichung liefert die erste Nullstelle.
\[ x_1 = 0\]
Die zweite Gleichung liefert durch Umstellen die zweite Nullstelle.
\[ x_2 + 2 = 0 \iff x_2 = -2 \]
Damit lautet die Menge der Nullstellen
\[ N = \{ -2; 0 \}\]
Aufgabe 1 b)
Aufgabe
Geben Sie einen Term einer gebrochen-rationalen Funktion \(h\) an, die die folgenden Eigenschaften hat: Die Funktion \(h\) ist in \(\mathbb{R}\) definiert; ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung \(y = 3\) als waagerechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \vert 4)\).
Lösung
Hier sollen wir also einen beliebigen Term der Form
\[h(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\]
angeben, der die oben genannten Eigenschaften besitzt. Dazu schauen wir uns die Eigenschaften nochmal genauer an und überlegen uns, was die für die Funktion bedeuten.
1) Die Funktion \(h\) ist in \(\mathbb{R}\) definiert
Die Funktion soll in ganz \(\mathbb{R}\) definiert sein, was so viel heißt wie, dass es keine Definitionslücken gibt. Wir können also alles in die Funktion einsetzen und erhalten immer einen mathematisch korrekten Funktionswert. Wir erinnern uns an die vorherige Aufgabe, wo wir den Nenner genommen haben, um die Definitionslücken zu bestimmen. Deshalb müssen wir uns einen Nenner überlegen, der keine Nullstellen in \(\mathbb\{R\}\) bestitz.
2) ihr Graph besitzt die Gerade mit der Gleichung \(y = 3\) als waagerechte Asymptote
Anschaulich gesprochen bedeutet diese Eigenschaften, dass sich die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte dem Wert \(3\) annähern. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies
\[ \lim\limits_{x \to \pm\infty} h(x) = 3\]
Hierzu werden wir den Zähler zur Hilfe nehmen, nachdem wir uns einen Nenner bei der ersten Eigenschaft ausgesucht haben und ihn dann so konstruieren, dass am Ende \(3\) herauskommt.
3) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \vert 4)\)
Am Ende müssen wir noch ein paar Feinschliffe machen, um diese Eigenschaft zu erhalten. Dazu setzen wir die entsprechenden Werte in unserer bisherigen Funktion ein und schauen, was wir verändern müssen, sodass der Funktionswert \(4\) ergibt.
1)
Wir nutzen hier aus, dass wir in \(\mathbb{R}\) keine negativen Quadratwurzeln ausrechnen können und wählen deshalb zum Beispiel
\[q(x) = x^2 +1\]
Würden wir die Nullstellen dieses Polynoms berechnen, landen wir am Ende bei
\[x_{1,2} = \pm \sqrt{-1}\]
was wir aber nicht berechnen können. Damit gibt es keine Definitionslücke und unsere bisherige Funktion
\[h(x) = \frac{p(x)}{x^2 + 1}\]
ist schonmal in ganz \(\mathbb{R}\) definiert.
2)
Wollen wir einen Limes ausrechnen, wird er besonders einfach, wenn das Polynom im Nenner und das Polynom im Zähler den gleichen Grad haben.
Erinnerung
Der Grad eines Polynom ist gleich seiner höchsten Potenz. Zum Beispiel hat \(f(x) = 9x^4 + 7x^2 + 5x + 3\) den Grad 4.
Wir wählen unser Polynom im Zähler also wie folgt: \(p(x) = x^2 + c)\), wobei \(c\) für eine beliebige Zahl steht, die wir später für die dritte Eigenschaft benötigen. Damit lautet unsere Limesgleichung bisher
\[ \lim\limits_{x \to \pm\infty} h(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + c}{x^2 + 1} \]
Nun klammern wir oben und unten jeweils das \(x\) mit der höchsten Potenz aus.
\[ \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(1 + \frac{c}{x^2})}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} \]
Da wir oben und unten im Bruch jeweils \(x^2\) haben, können wir das herausstreichen, sodass nur noch
\[ \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{c}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \]
übrig bleibt. Wegen \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0\) erhalten wir
\[ \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{c}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1\]
Wir wollen aber eine \(3\) bekommen. Eine Möglichkeit, die zu bekommen, ist es, aus der \(1\) im Zähler eine \(3\) zu machen, sodass wir
\[ h(x) = \frac{3x^2 + c}{x^2 + 1} \]
haben. Denn dann ist
\[ \lim\limits_{x \to \pm\infty} h(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{3 + \frac{c}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3\]
3)
Die letzte Eigenschaft. Hier setzen wir anstelle von \(x\) eine \(0\) in unserer bisherigen Funktion \(h(x)\) ein und setzen diese dann gleich dem erwarteten Funktionswert \(h(0) = 4\).
\[ h(0) = \frac{3\cdot 0^2 + c}{0^2 + 1} = c = 4\]
Damit lautet unsere konstruierte Funktion, die die drei obigen Eigenschaften erfüllt
\[ h(x) = \frac{3x^2 + 4}{x^2 + 1} \]
WICHTIG: Diese Funktion ist nicht die einzige, die alle drei Eigenschaften erfüllt. Wir hätten in der ersten Eigenschaft auch das Polynom \(q(x) = x^2 + 2\) wählen können und so dann eine andere Funktion konstruiert.
Aufgabe 2
Gegeben ist die in \(\mathbb{R}^+\) definierte Funktion \(g:x\mapsto \frac{4}{x}\). Abbildung \(1\) zeigt den Graphen von \(g\).
Aufgabe 2 a)
Aufgabe
Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\int\limits_{1}^{e}g(x) dx\)
Lösung
Für die Berechnung sollten wir zwei Dinge wissen. Zum einen ist es wichtig, dass Stammintegral
\[ \int\frac{1}{x}dx = \ln\vert x \vert\]
und die Beziehungen
\[ \ln(e) = 1 \quad \text{und} \quad \ln(1) = 0 \]
zu kennen.
Die Berechnung an sich ist dann gar nicht mehr so schwierig. Dazu schreiben wir das Integral zunächst nochmal hin und ersetzen \(g(x)\) durch die angegebene Funktionsvorschrift.
\[ \int\limits_{1}^{e}g(x) dx = \int\limits_{1}^{e}\frac{4}{x} dx\]
Jetzt können wir die Faktorregel anwenden und die \(4\) aus dem Integral herausnehmen.
\[ 4\int\limits_{1}^{e}\frac{1}{x} dx\]
Damit haben wir noch das Stammintegral, welches wir mit dem obigen Wissen ausrechnen können.
\[ 4\left[ \ \ln( \ \vert x \vert \ )\ \right]_{1}^{e} = 4 \cdot (\ln(e) – \ln(1)) = 4\]
Aufgabe 2 b)
Aufgabe
Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle \(x_0 \in \mathbb{R}^+\), für die gilt: Die lokale Änderungsrate von \(g\) an der Stelle \(x_0\) stimmt mit der mittleren Änderungsrate von \(g\) im Intervall \([1;4]\) überein.
Lösung
Die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x_0\) ist die Steigung der Tangente, die an dieser Stelle an dem Funktionsgraphen angelehnt wird. Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall ist, wie es der Name schon sagt, die Durchschnittssteigung aller einzelner Tangenten in diesem Intervall. Letzteres ist, wenn der Graph wie hier vorgegeben ist, schnell gemacht. Wir suchen jeweils die Funktionswerte am Rand der Intervalle (\(g(1)\) und \(g(4)\)) und verbinden diese beiden Punkte im Koordinatensystem. Damit die lokale Änderungsrate mit der mittleren Änderungsrate übereinstimmt, müssen die Tangenten parallel sein. Deshalb nehmen wir am besten ein Geodreieck zur Hilfe und verschieben unserer zweite Tangente solange, bis sie am Punkt \((2 \vert 2)\) am Graphen anliegt.
Aufgabe 3
Der Graph \(G_f\) der in \(\mathbb{R}\) definierten ganz-rationalen Funktion \(f\) besitzt nur an der Stelle \(x = 3\) eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung 2).
Betrachtet wird die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(g\) mit
\[ g(x) = f(f(x)) \]
Aufgabe 3 a)
Aufgabe
Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte \(f(6)\) und \(g(6)\) an.
Lösung
Folgt.